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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6: Teorema del Valor Medio

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9. Mediante los cocientes incrementales correspondientes, decida si las siguientes funciones son derivables en el punto indicado.
a) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} & \text{ si } x \neq 1 \\ -3\pi & \text{ si } x=1\end{array}\right.$ en $x=1$

Respuesta

⚠️ Ejercicio típico de parcial ⚠️

Queremos ver si la función $f(x)$ es derivable en $x=0$. Acordate que para que una función sea derivable en un punto, primero tiene que ser continua en ese punto; entonces, arrancamos estudiamos continuidad de $f$ en $x=1$.

Recordemos los tres puntos que tiene que cumplir una función $f$ para ser continua en un $x=x_0$

a) $f(x_0)$ debe estar definida.
b) El límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $x_0$ debe existir y ser un número real.
c) El límite cuando $x$ tiende a $x_0$ debe ser igual a $f(x_0)$.

Veamos si nuestra $f$ cumple estas tres condiciones cuando $x=1$

a) $f(1) = -3 \pi$

b) Calculamos el $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) $

$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{e^{\sin(3\pi x)}-1}{x-1} $

Este límite ya lo calculamos en el Ejercicio 6 a), y vimos que el resultado era $-3\pi$

c) $\lim_{x \rightarrow 1} f(x) = f(1)$

Impecable, se cumplen las tres condiciones, por lo tanto $f$ es continua en $x=1$.

Ahora estudiamos derivabilidad en $x=1$. Como se trata de una función partida, y queremos calcular la derivada justo donde la función se parte, lo hacemos por definición usando el cociente incremental:

$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi(1 + h))}-1}{h} - (-3\pi)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)}-1}{h} + 3\pi}{h}$

Atenti acá. Primero escribimos esa suma que nos quedó en el numerador como una única fracción:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h}    }{h} $

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} - 1 + 3\pi h}{h^2} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero". Aplicamos L'Hopital:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos(3\pi + 3\pi h) \cdot 3\pi + 3\pi   }{2h} $

Seguimos con un "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más. Dale, respiramos profundo y derivamos, ahí va...

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} $

Al fin se nos fue la indeterminación, entonces tomamos límite:

$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \cos^2(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2 - e^{\sin(3\pi + 3\pi h)} \cdot \sin(3\pi + 3\pi h) \cdot (3\pi)^2}{2} = \frac{(3\pi)^2}{2}$

Por lo tanto...

$ f'(1) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \frac{(3\pi)^2}{2} $

Es decir, $f$ es derivable en $x=1$ y $f'(1) = \frac{(3\pi)^2}{2}$
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ExaComunidad
Benjamin
12 de mayo 20:29
De donde sale el 3 pi al cubo
1 respuesta
Benjamin
12 de mayo 20:22
Cuando aplicas l hopital por segunda vez y usas la regla del producto por que queda un menos ahi en vez de un mas??? Osea igual ahora viendolo veo q es por la derivada del cos, pero es necesario o como se cuando tengo que cambiar ese signo de ahi? 
1 respuesta
Benjamin
12 de mayo 20:17
cuando derivas sen(3pi+3pih), no quedaria cos(3pi+3pi.h) y la derivada de lo de adentro no tendria q ser 3pi+3pi?? h no contaria como un x que al derivarlo queda en 1, o cuenta como si fuese un numero y que cuando lo derivo queda en 0
1 respuesta
Benjamin
12 de mayo 20:12
Por que queda el h al cuadrado ??
1 respuesta
Benjamin
12 de mayo 20:07
Buenas, tengo unas dudas. No podria tomar el limite cuando e a la sen(3 pi *(1+h)) sobre h -1, como que todo eso da -3pi, y a eso sumarlo al 3pi, y despues decir esto es un 0/0 y despues aplicar l´hopital para que me termine quedando todo 0?
1 respuesta
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